Question

一道高等数学题

f(x)为R上的非零函数，且f(x+y)=f(x)f(y),f'(0)=1,求f(x).
只用极限和导数微分的知识，不要用积分。答案可以发到我的邮箱wangpeng19878888@sina.com，好的加分。

Answer 1

f(0)＝f(0)×f(0)得f(0)＝0或1。但f(0)≠0。否则f(x)＝f(x)×f(0)≡0与f(x)非零矛盾。所以f(0)＝1。
f(x+h)＝f(x)f(h)－f(x)＝f(x)×[f(h)－1]＝f(x)×[f(h)－f(0)]
lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h＝f(x)×lim(h→0) [f(h)-f(0)]/h＝f(x)×f'(0)＝f(x)
即f'(x)＝f(x)。
构造函数F(x)＝e^(-x)×f(x)，求导得F'(x)＝e^(-x)[f(x)－f'(x)]＝0，所以F(x)＝C，即f(x)＝Ce^x。由f(0)＝1得C＝1。所以f(x)＝e^x。