Question

在求无偏估计量的方差下界中I是如何求的，即求其期望的具体过程是什么

Answer 1

如果ξ～P（λ），那么E（ξ）= D（ξ）= λ
其中P（λ）表示泊松分布
无偏估计量的定义是：设（ξ∧）是ξ的一个估计量，若E（ξ∧）=ξ ，则称ξ∧是ξ的无偏估计量
下面说明题目中的四个估计量都是λ的无偏估计量。
首先，因为ξ1、ξ2、ξ3 都是取自参数为λ的泊松总体的样本，独立同分布，所以它们的期望和方差都是λ ，则
（1）无偏性
E（λ1∧）= E（ξ1）= λ
E（λ2∧）= E[(ξ1+ξ2)/2]= (λ+λ)/2 = λ
E（λ3∧）= E[(ξ1+2*ξ2)/3]= (λ+2λ)/3 = λ
E（λ4∧）= E[(ξ1+ξ2+ξ3)/3]= (λ+λ+λ)/3 = λ
（2）有效性，即最小方差性
D（λ1∧）= D（ξ1）= λ
D（λ2∧）= D[(ξ1+ξ2)/2]= [D(ξ1)+D(ξ2)]/4= (λ+λ)/4 = λ/2
D（λ3∧）= D[(ξ1+2*ξ2)/3]= [D(ξ1)+4D(ξ2)]/9= (λ+4λ)/9 = 5λ/9
D（λ4∧）= D[(ξ1+ξ2+ξ3)/3]= [D(ξ1+ξ2+ξ3)]/9 =(λ+λ+λ)/9 = λ/3
其中 D（λ4∧）= λ/3 最小，所以无偏估计量 λ4∧最有效。