Question

怎么求直线与平面的夹角？

高中必修二的内容。

Answer 1

先求平面的法向量，再求直线的方向向量，最后求两向量所成角的余弦。

那么直线与平面的夹角的正弦=刚刚求得的余弦

直接从定义出发，直线上取一点P，向平面做（找）投影P'，如果直线与平面在视野范围内即有交点S，则∠PSP'即是线面夹角；如果视野范围内没有S则另找一点R，同样做投影R’，之后求PR与P'R'夹角（找P'R'的平行线最好经过P或者R，或者找PR的平行线最好经过P’或R'）

线面所成角，直线与平面所成角

1、定义：

当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。

当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。

2、范围：0°≤θ≤90°（斜线与平面所成的角θ的范围是0<θ<90°。）

以上内容参考：百度百科-直线和平面所成的角

Answer 2

要求直线与平面的夹角，首先需要确定直线与平面的方向向量。然后，使用向量的内积公式来计算直线与平面的夹角。以下是具体的步骤：
步骤1：确定直线的方向向量
对于直线，通常可以给出直线上的两个点A和B。直线的方向向量可以通过两点之间的差向量来表示，即直线的方向向量为AB向量，记作→AB。
步骤2：确定平面的法向量
对于平面，通常会给出平面的法向量，记作→n。平面的法向量垂直于平面上的所有点，并指向平面的法线方向。
步骤3：计算向量的内积
直线与平面的夹角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的内积来计算。向量的内积公式为：
→AB · →n = |→AB| * |→n| * cosθ
其中，→AB · →n表示向量→AB和→n的内积，|→AB|和|→n|分别表示向量→AB和→n的模长，θ表示直线与平面的夹角。
步骤4：计算夹角
根据内积公式，可以解出夹角θ：
θ = arccos((→AB · →n) / (|→AB| * |→n|))
请注意，计算内积前需要确保向量→AB和→n的方向是正确的，即直线的方向向量和平面的法向量方向应该与夹角θ的范围一致。夹角θ的范围通常取值在0到180度之间。

Answer 3

LZ您好

1. 垂直或者平行直接可用别的手段进行判定，不谈。

2. 直接从定义出发，直线上取一点P,向平面做（找）投影P'，如果直线与平面在视野范围内即有交点S，则∠PSP'即是线面夹角；如果视野范围内没有S则另找一点R，同样做投影R’，之后求PR与P'R'夹角（找P'R'的平行线最好经过P或者R，或者找PR的平行线最好经过P’或R'）

3. 注意特殊的面面夹角/线线夹角→线面夹角的情形。尤其请重视二面角的平面角。

4. 在直线上取PR两点，求出平面的法向量n,之后求向量PR与向量n的夹角，结果是其cos值，如果为正，就是线面夹角对应的cos；如果为负，就是线面夹角的补角对应的cos

追问

请问最后那一个余角对应的余弦我觉得不太对吧，余角的余弦应该也是正的呀。

追答

呃，不好意思，我仔细看了一下，应该是补角，而不是余角。
也就是求出为负的时候，应用π去减

Answer 4

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 5

要求直线与平面的夹角，可以使用向量的内积和法向量来计算。以下是求解步骤：

1. 首先，确定直线的方向向量和平面的法向量。直线的方向向量可以由两个点确定，平面的法向量可以由平面的方程确定。

2. 计算直线的方向向量和平面的法向量的点积（内积）。点积的计算公式为：
\( \text{dot} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \)

3. 计算直线的方向向量和平面的法向量的模（长度）。向量的模的计算公式为：
\( |\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \) 和 \( |\mathbf{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} \)

4. 根据内积的性质和向量的模的性质，可以得到直线与平面的夹角的余弦：
\( \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} \)

5. 最后，应用反余弦函数将余弦值转换为夹角度数：
\( \theta = \cos^{-1}(\cos \theta) \)

注意：以上步骤适用于直线和平面均为三维空间中的对象。在二维情况下，可以将其视为平面和直线在三维空间中的投影，并使用相同的方法进行计算。