Question

利用降阶的方法求微分方程y^″=y^'+x 的通解

利用降阶的方法求微分方程y^″=y^'+x 的通解

Answer 1

设y'=p，则y''=p'

原方程化为p'=p+x

先求对应的齐次方程p'=p

dp/p=dx

ln|p|=x+C

p=Ce^x

由常数变易法，令p=C(x)e^x

代入p'=p+x，得

C'(x)e^x=x

C'(x)=x e^(-x)

C(x)=∫x e^(-x)dx=-xe^(-x)-e^(-x)+C

故方程p'=p+x的通解为p=-x-1+Ce^x

即y'=-x-1+Ce^x

y=-½ x² -x+C e^x +C1

Answer 2

解：∵微分方程为y''=y'+x
∴设y'=u(x)，有y''=u'，方程化为
u'=u+x，u'e^(-x)-ue^(-x)=xe^(-x)
[ue^(-x)]'=xe^(-x)，
ue^(-x)=-xe^(-x)-e^(-x)+c
(c为任意常数)
∴有u=-x-1+ce^x，y=-x²/2-x+ce^x+a(a为任意常数)
∴方程的通解为y=-x²/2-x+ce^x+a