Question

求x²/√(3+2x-x²)的不定积分？

求大神救救孩子

Answer 1

第一步：换元。

3+2x-x^2=4-(x-1)^2

令x-1=u
，

题目中的不定积分可转换为

(u+1)^2du/根号(4-u^2)的积分

第二步：和的积分拆分为积分的和。

因为(u+1)^2=(u^2-4)+2u+5

所以不定积分可拆为三部分：

(u^2-4)/根号(4-u^2)du

=-根号(2^2-u^2)du

=-[u根号(4-u^2)/2+2arcsin(u/2)]

2u/根号(4-u^2)du

=d(u^2-4)/根号(4-u^2)

=-2根号(4-u^2)

5/根号(4-u^2)du

=5arcsin(u/2)

积分结果为

-(u/2+2)根号(4-u^2)+3arcsin(u/2)+C

第三步：代入u=x-1。

积分结果为

-(x+3)/2根号(3+2x-x^2)+3arcsin[(x-1)/2]+C。

具体见附图

积分求解过程

Answer 2

Answer 3

Answer 4

求x²/√(3+2x-x²)的不定积分，按一类无理函数积分的套路可解，需要先配方。