Question

一道导数题求大神帮忙

f(X)=ax^2-e^X 当x>=0时 f(X)<=-x-1 求a的取值范围

Answer 1

ax²－e^x≤－x－1
x=0时，－1≤－1，恒成立，a∈R
x＞0时，a≤(e^x－x－1)/x² 恒成立
令g(x)=(e^x－x－1)/x²
a≤(e^x－x－1)/x² 恒成立，只需要a≤g(x)min
g'(x)=[(e^x－1)x－2(e^x－x－1)]/x³
=[(x－2)e^x＋x＋2]/x³
令T(x)=(x－2)e^x＋x＋2
T'(x)=(x－1)e^x＋1
T''(x)=xe^x
x＞0时，T''(x)＞0
所以T'(x)在(0，＋∞)单调递增
而lim(x→0) T'(x)=0
所以在(0，＋∞)上，T'(x)＞0
所以T(x)在(0，＋∞)单调递增
lim(x→0) T(x)=0
所以x＞0时，T(x)＞0，即g'(x)＞0
所以在(0，＋∞)上g(x)单调递增
lim(x→0) g(x)
=lim(x→0) (e^x－1)/(2x)
=lim(x→0) e^x/2
=1/2
所以a≤1/2
综上a的取值范围为a≤1/2

追问

lim(x→0) g(x)
=lim(x→0) (e^x－1)/(2x)
=lim(x→0) e^x/2
=1/2
所以a≤1/2
综上a的取值范围为a≤1/2
麻烦解释一下

追答

a≤(e^x－x－1)/x² 恒成立，只需要a≤g(x)min
而g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，那么g(x)＞1/2
由于a≤g(x)min
a≤1/2

追问

怎么求g(X)>1/2

追答

g(x)单调递增的啊
x→0时，g(x)→1/2

lim(x→0) (e^x－1－x)/x²
=1/2

追问

好的谢谢

Answer 2

根据题意可知，构造g(x)=ax²-e^x+x+1，当x≥0时，g(x)≤0恒成立，又因为g(0)=0，所以g'(x)≤0，最后解得x≤½，详细过程请见图片，望采纳

追问

麻烦问一下倒数第二步问什么求导 还有怎么证明他是单调函数呢