Question

8道高等数学的题

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Answer 1

11.求函数y=x³-2x²+x+5在区间[-1，1]上的最大值和最小值
.解：令y′=3x²-4x+1=(3x-1)(x-1)=0，得驻点x₁=1/3，x₂=1，x₁是极大点，x₂是极小点；
x₁，x₂∈[-1，1]，故在区间[-1，1]内的极大值=y(1/3)=1/27-2/9+1/3+5=139/27；极小值=y(1)
=1-2+1+5=5；在区间左端点x=-1时y(-1)=-1-2-1+5=3；故在[-1，1]上的最大值为139/27=5.148；
最小值为3。
12。求不定极分：
(1)。∫[2x/(1+x²)]dx=∫d(1+x²)/(1+x²)=ln(1+x²)+C
(2)。∫(xe^x+cosx)dx=∫x(e^x)dx+∫cosxdx=∫xd(e^x)+sinx=xe^x-∫(e^x)dx+sinx=xe^x-e^x+sinx+C
=(x-1)e^x+sinx+C；
13。已知y=xln[x+√(1+x²)]，求dy/dx
解：dy/dx=ln[x+√(1+x²)]+x[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]=ln[x+√(1+x²)]+x/√(1+x²)
14。求极限x➔∞lim[(4x²-3)³(3x-2)⁴/(6x²+7)⁵]【分子分母的x的最高次数都是10次，故其极限等于
其最高次数项的系数比】
解：原式=(4³×3⁴)/6⁵=5184/7776=162/243=2/3
11。求定积分【0，1】∫(2xsinx²+xe^x)dx
解：原式=【0，1】[∫sinx²d(x²)+∫xd(e^x)]=[-cosx²+(x-1)e^x]∣【0，1】=-cos1-(-cos0-1)=2-cos1
12。求函数f(x)=4x³-5x²+6在全部实数域上的极值。
解：令dy/dx=12x²-10x=2x(6x-5)=0，得驻点x₁=0，x₂=5/6；x₁是极大点，x₂是极小点；
故极大值f(x)=f(0)=6；极小值f(x)=f(5/6)=4×(5/6)³-5×(5/6)²+6=523/108；
13。求不定分∫x³e^(x²)dx
解：原式=(1/2)∫x²d(e^x²)=(1/2)[x²e^(x²)-2∫xe^(x²)dx]=(1/2)[x²e^(x²)]-(1/2)∫d(e^x²)
=(1/2)[x²e^(x²)]-(1/2)(e^x²)+C=(1/2)(x²-1)e^(x²)+C
14。求曲线y=x³+3x²-x-1的凹凸区间与拐点坐标
解：令y'=3x²+6x-1=0，y"=6x+6=6(x+1)，由于在(-∞，-1]上y"<0，故曲线在区间(-∞，-1]上向下凹；在[-1，+∞)上y">0，故曲线在区间[-1，+∞)上向上凹。拐点坐标为(-1，2)。