Question

x>0,y>0,z>0,且x^2+y^2+z^2=1.求(xy/z+xz/y+yz/x)^2的最小值

Answer 1

解:由题设及均值不等式可知，(xy/z)²+(xz/y)²≥2x²,(xy/z)²+(yz/x)²≥2y²,(xz/y)²+(yz/x)²≥2z².三式相加得：(xy/z)²+(xz/y)²+(yz/x)²≥1.该式两边加2×（x²+y²+z²),(即2）得[(xy/z)+(xz/y)+(yz/x)]²≥3.等号仅当x=y=z=√3/3时取得。故所求的最小值为3。【两边相加后，分解即是完全平方式】。