Question

大学微积分二重积分？

Answer 1

作第一象限平分线 y = x，将单位圆第一象限部分 D 分为两部分 D1， D2.
在 D2 上 f(y), f(x) 与 D1 上的 f(x), f(y) 分别相等。于是
I = ∫∫<D>[3√f(x)+5√f(y)]/[√f(x)+√f(y)]dxdy
= ∫∫<D1>[3√f(x)+5√f(y)]/[√f(x)+√f(y)]dxdy
+ ∫∫<D2>[3√f(x)+5√f(y)]/[√f(x)+√f(y)]dxdy
= ∫∫<D1>[3√f(x)+5√f(y)]/[√f(x)+√f(y)]dxdy
+ ∫∫<D1>[3√f(y)+5√f(x)]/[√f(y)+√f(x)]dxdy
= ∫∫<D1>8[√f(x)+√f(y)]/[√f(x)+√f(y)]dxdy
= ∫∫<D1>8dxdy = 8(π/8) = π, 选 D。