Question

已知函数f(x)=ax3-3x2+1-3/a

(1)讨论函数f(x)的单调性
(2)若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。

Answer 1

(1)

f'(x) = 3ax^2 - 6x

f'(x) = 0, x(ax-2)=0, x1=0, x2=2/a

所以, 当 a>0 时, f(x) 单增区间为 [2/a,+infinity) 和 (-infinity,0],

单减区间为 [0, 2/a]

当 a<0 时, f(x) 单增区间为 [2/a,0],

单减区间为 [0,+infinity) 和 (-infinity,2/a].

(2)

与y轴垂直的话, 就是说 f'(x1) = f'(x2) = 0

f'(x1) = f'(x2) = 0 -> x1 = 0, x2 = 2/a

线段AB与x轴有公共点 -> 一个在 x 轴上面, 一个在下面, 或者在轴上

所以

f(0)f(2/a) <= 0

(1-3/a)(a(8/a^3)-3(4/a^2)+1-3/a) <= 0

(1-3/a)(- 4/a^2 + 1 - 3/a) <= 0

(1-3/a)(1 - 3/a - 4/a^2) <= 0

(1+1/a)(1-3/a)(1-4/a) <= 0

所以

-1 <= a < 0 或者 3 <= a <= 4.

实数a的取值范围为 [-1,0) U [3,4].

Answer 2

化简后x(ax-2)=0只需分a>0和a<0两种情况，剩下就简单了，找到单调区间就有最值了
2）与y轴垂直，就是极值点，线段AB与x轴有公共点说明一个大于零，一个小于零，分别求解就行了。
很简单啊

Answer 3

对函数求导，当导数为0时即为函数极大极小值，从而求出单调性（a的取值要分情况讨论）