Question

（线性代数）为什么r（A）＝3，所以|A|＝0

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Answer 1

首先明白什么是矩阵的秩。
如果矩阵A至少有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式都为0，则矩阵的秩为r.
本问题中，r(A)=3,故至少有一个3阶子式不为0，而所有的4阶子式都为0.而这里的4阶子式只有一个，就是矩阵A的行列式|A|，所以|A|=0.
进一步提示：这个问题要注意a不能等于1，因为若a=1则矩阵A的所有2阶子式都为0，此时r(A)=1,不合条件。
故只能取a=-3

Answer 2

四阶矩阵可逆 A <=> r(A) = 4 <=> |A|≠0
不可逆 <=> r < 4 <=> |A|=0，
<=> 表示充要条件

Answer 3

因为r(A)=3<4，经过初等行变换后，必有1行为0，即矩阵的一个特征值为0，所以其行列式值必为0。