几何学有哪三大难题？
第一，化圆为方。在古希腊的时候有一个学者叫做安拉克萨哥拉，有一次，他提出太阳是一个巨大的火球。从现在看来，它绝对符合客观事实，但在当时，人们都相信神话中的说法，太阳是神灵阿巴罗的化身。于是安拉克萨哥拉被判定为亵渎神灵，判处死刑，被投到了牢狱中。
在等待执行的日子里，他依然在思考着关于宇宙和万物的问题，当然也包括数学问题。一天晚上，他看到圆圆的月亮，透过正方形的铁窗照进牢房，他心中一动，想：如果已知一个圆的面积，那么，怎样做出一个方来，才能使它的面积恰好等于这个圆的面积呢？这个问题看似简单，却难住了安拉克萨哥拉。在古希腊，对作图工具进行了限制，只允许使用直尺和圆规。
安拉克萨哥拉一直在思考这个问题，甚至忘了自己是还是一个待处决的犯人。到了后来，受到好朋友伯利克里（当时杰出的政治家）的营救，脱离了牢狱之苦。然而这个问题，他自己没有能够解决，整个古希腊的数学家也没有能解决，成为历史上有名的三大几何难题之一。在之后的两千多年里，也有无数的数学对此做了论证，可始终没有得到答案。
第二，立方倍积。此问题也是几何三大难题中的一个。相传，在古希腊的有一个名为第罗斯的小岛有一年发生了瘟疫，岛上的居民到神庙去祈求宙斯神，询问该如何免除灾难？许多天过去了，巫师终于传达了神灵的旨意，原来是宙斯认为人们对他不够虔诚，他的祭坛太小了。要想免除瘟疫，必须做一个体积是这个祭坛两倍的新祭坛才行，而且不许改变立方体的形状。于是人们赶紧量好尺寸，把祭坛的长、宽、高都增加了一倍，第二天，把它奉献在了宙斯神的面前。不料，瘟疫非但没有停止，反而更加流行了。第罗斯岛的人民惊慌失措了，再次向宙斯神祈求。巫师再次传达了宙斯的旨意。原来新祭坛的体积不是原来祭坛的两倍，而是八倍，宙斯认为，第罗斯人抗拒了他的意志，因此更加发怒了。当然这只是个传说，但这个问题至今为止都没能解答出来确是事实。
其问题就是：仅仅用圆规和没有刻度的直尺来做一个立方体，使得这个立方体是已知原来的立方体体积的2倍。由于至今没有人解答，所以它成为了几何学的第二大问题。
第三，三等分角。这个问题也有一个传说。据说，在公元前4世纪的时候埃及的亚历山大城是一座著名的繁荣都城。在城的近郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅的中间有一条河，公主居住的屋子正好建在圆心处。别墅的南北墙各开了一个门，河上建有一座桥。桥的位置和北门、南门恰好在一条直线上。国王每天赐给公主的物品，从北门送进，先放到位于南门的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。从北门到公主的屋子，和从北门到桥，两段路恰好是一样长。公主还有一个妹妹小公主，国王也要为她修建一座别墅。而小公主提出，自己的别墅也要修得和姐姐的一模一样。小公主的别墅很快动工了。可是工匠们把南门建好后，要确定桥和北门的位置的时候，却发现了一个问题：怎样才能使北门到居室、北门到桥的距离一样远呢？最终工匠们发现，要想要相等的距离，就必需先要解决三等分的这个问题，只要问题可以解决，就能确定桥和北门的位置。
于是工匠们尝试用直尺和圆规作图法定出桥的位置，但过了很久，都没有得到解决，无奈之下，他们只好去请教当时最著名的数学家阿基米德。阿基米德看到这个问题，想了很久。他在直尺上做上了一点固定的标记，便轻松地解决了这一问题。大家都非常佩服他。不过阿基米德却说，这个问题没有被真正解决。因为一旦在直尺上作了标记，等于就是为它做了刻度，这在尺规作图法中是不允许的。于是这个问题在两千年来一直困扰着无数的数学家，直到一百多年前，德国数学家克莱因做出了一个无可置疑的证明：只用直尺和圆规，是不可能解决这三个难题的。也就是说，这个问题到目前为止都还没有得到真正的解决。
