Question

f(x)=x^2+1,且g(x)＝f[f(x)]，G(x)=g(x)-λf(x),

f(x)=x^2+1,且g(x)＝f[f(x)]，G(x)=g(x)-λf(x),试问：是否存在实数λ，使得G(x)在（－∞，－1]上为减函数，并且在（－1，0）上为增函数。

Answer 1

先把 g(x) 的形式具体写出来
g(x) = f[f(x)] = [f(x)]^2 + 1 = (x^2 +1)^2 + 1
= x^4 + 2x^2 + 2

G(x) = g(x)-入f(x)
= x^4 + 2x^2 + 2 - λ(x^2 + 1)
= x^4 + (2-λ)x^2 + 2-λ

配方
G(x) = x^4 + 2*[(2-λ)/2] x^2 + [(2-λ)/2]^2 - [(2-λ)/2]^2 + (2-λ)
= [x^2 + (2-λ)/2]^2 + ……
这是一个偶函数闭尺。关于y轴对称。

G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数
根据偶函数，则 G(x) 在 [0，轿茄高1]上是减函数，在 [1 ，正无穷）上是增函数。
为了纳运保证上述两性质，则
(2-λ)/2 = -1
(2-λ) = -2
λ = 4