Question

数学题 数学高手请进

题为：设m为整数,且关于x的方程mx^2+2(m-5)x+m-4=0有整数根,则m的值为
但是此题还有一答案为-16。

Answer 1

1、若m=0,方程为-10x-4=0,根不是整数。
2、方程为x的二次方程，即m不等于0。方程有根，那么Δ≥0，也就是Δ=4(m-5)^2-4m(m-4)=100-24m=4(25-6m)≥0
方程的根为 x=[-2(m-5)±根号(Δ)]/2m=[2(5-m)±2根号(25-6m)]/2m=[(5-m)±根号(25-6m)]/m=(5/m-1)±[根号(25-6m)/m]
既然方程有整根，那么25-6m一定是个平方数，而且满足25/6≥m.
设25-6m=k^2(k>0且k为整数),则m=(25-k^2)/6=(5-k)(5+k)/6.则方程根为5/m-1±k/m=(5±k)/m-1
将m=(25-k^2)/6代入得6(5±k)/(5-k)(5+k)-1,那么方程两个根可以写成x1=6/(5-k) -1,x2=6/(5+k)-1
若x1是整数，那么只有当k=2,3,4,6,7,8时，6/(5-k)为整数。其对应的m分别为21/6,16/6,9/6,-11/6,-4,39/6.
若x2是整数，那么只有当k=1时，6/(5+k)为整数。对应的m=4.
其中m是整数的只有m=-4,4.所以m的值为-4,4.

Answer 2

Δ是完全平方数
即：4（m-5)² -4m(m-4) 是完全平方数
既然方程有整根，那么25-6m一定是个平方数,且满足25/6≥m.
设25-6m=n²
6m=（5+n)(5-n)

m=4,m=-4

Answer 3

怎么会还有-16呢？这个带回去不是整数根啊，而且上面两位回答的都挺正确的啊。