Question

函数f(x)=e^(ax)/a＋x－2ln(x+ 1)在（0， ∝）存在单调递减区间，a的范围

Answer 1

f(x)=e^x+ln(x+1)-ax 定义域x>-1
f'(x)=e^x+1/(x+1)-a
(1)f'(x)=e^x+1/(x+1)-2
驻点x=0
x∈(-1,0) f'(x)<0 为单调递减区间
x∈(0,+∞) f'(x)>0 为单调递增区间
(2)令g(x)=e^x+ln(x+1)-ax-cosx x>0
g'(x)=e^x+1/(x+1)-a+sinx
令h(x)=g'(x)=e^x+1/(x+1)-a+sinx x>0
h'(x)=e^x-1/(x+1)²+cosx>e^x-1+cosx
∵(e^x-1+cosx)'=e^x-sinx>0
∴e^x-1+cosx单调递增
e^x-1+cosx>eº-1+1=1
∴h'(x)>0 h(x)=g'(x)单调递增
g'(x)>g'(0)=2-a
∴a≤2时 g'(x)>0 g(x)单调递增
g(x)>g(0)=0
∴a的取值范围是a≤2

Answer 2

f(x)=ln(ax+1)+2/(x+1)-1 x≥0,a>0
f'(x)=a/(ax+1)-2/(x+1)²=(ax²+a-2)/(ax+1)(x+1)²
当a-2≥0→a≥2时 f'(x)≥0 f(x)全定义域单调递增
0<a<2时
驻点：x₀=√(2-a)/a
0<x<x₀ f'(x)<0 f(x)单调递减
0<x<x₀ f'(x)>0 f(x)单调递增 （开口向上的抛物线右侧零点左边<0 右侧>0)
(2)若函数g(x)=⅓bx²-bx 当a=1且b<0，对于任意x₁∈(0,1)，总存在x₂∈(0,1)使得f(x1)=g(x2),求实数b的取值范围
f(x)=ln(x+1)+2/(x+1)-1
驻点：x=1 极小值=ln2
f(0)=1
∴f(x)∈(ln2,1)
g(x)=⅓bx²-b=⅓b(x-1.5)²-3b/4
开口向下，对称轴x=1.5 区间位于对称轴左侧，单调递增
g(0)=-b g(1)=-⅔b
g(x)∈(-⅔b,-b)
∴-⅔b≤ln2 -b≥1
-1.5ln2≤b≤-1