Question

一个初三数学题

在三角形ABC中，角C=90度，角BAC和角ABC的平分线相交于点P，又PE垂直AB于E，若BC=2，AC=3，则AE乘EB的值为：
A.3
B.4
C.5
D.6
给出过程，谢谢～

Answer 1

注意到P是三角形的内心
作PD,PF垂直于BC,AC于D,F
那么PD=PE=PF（内心性质）
而直角三角形中，
PD=CF=CD=0.5(CF+CD)=0.5(BC+CA-AF-DB)

注意到AF=AE,BD=BE（利用全等，切线都可以证明）
所以PD=0.5(BC+CA-AE-EB)=0.5(BC+CA-AB)

在直角三角形中
AB=√(AC^2+BC^2)=√13

所以CF=CD=PD=5/2-(√13)/2
那么AE=AF=AC-CF=3-(5/2-(√13)/2)=1/2+(√13)/2
BE=BD=BC-CD=2--(5/2-(√13)/2)=-1/2+(√13)/2
所以AE*BE=3

Answer 2

选A
其实很容易知道P为三角形内切圆的圆心

Answer 3

选A。

Answer 4

解：
作PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G
设AE=a，BE=b
则AG=a，BF=b
3-a=2-b
∴a-b=1
a²+b²-2ab=1
∵a²+b²+2ab=2²+3²=13
∴4ab=12
ab=3
即AE乘EB=3
选A

Answer 5

过P做PM⊥AB，PN⊥AC，则AMPN为正方形，设PE=X，则AE=3-X，BE=2-X，所以
2-X+3-X=根号13，则X=（5-根号13）/2，BE=2-X=（根号13-1）/2，AE=（根号13+1）/2，则AE*BE=3