Question

线性代数题目不会啊。。。。

救救孩子吧，快哭了





Answer 1

孩子不哭，详细解答过程如下：

第一题网上有详细步骤，后两题的具体步骤如上图4。

希望能帮到你，望采纳。如有不懂可追问或私信我。

追问

期末考这个时候头快炸了。。。。

😭

追答

不要着急，慢慢来。这种概念也不是很多，按照步骤慢慢算就行。离期末考试应该还有一段时间吧，刷点题就好了。还有什么问题可追问或私信我。

追问

那个矩阵求证可逆的题目为何那样求啊，它告诉你那些是要让你干嘛？？

我想问下矩阵求特征向量和特征值的方法，高中其实已经触碰到了，但当时只有二阶矩阵

我还想问下基础解系和通解是怎么求的

追答

首先你要清楚可逆矩阵的定义：矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，即AB=BA=E。所以题目就是想让你想办法化成这种形式就可以求出逆矩阵，当然如果化不出这种形式的话就不是可逆矩阵，但是考试这种类型的一般都是考证明，而且是可以化出来的。

求特征值一般有两种方法：一是将矩阵化为对角阵，二是令A-λE的模等于零；则对角阵上的值或是解出λ的值就是矩阵的特征值，一般下面会让求其特征向量，方便起见一般用上面的第二种方法；求特征向量就要将特征值带入到A-λE中解出基础解系即可。

齐次线性方程组基础解系的一般解答步骤如下：

• 求出矩阵A的简化阶梯形矩阵；

• 根据简化阶梯型矩阵的“首元”所在位置，写出“自由未知量”；

• 根据简化阶梯型矩阵写出与之对应的齐次线性方程组t，该方程组与原方程组解相同；

• 令“自由未知量”为不同的值，代入上述齐次线性方程组t,即可求得其基础解系。

注意基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

追问

请问四的1是怎么配出来的啊？（就一开始是怎么想到的）

那个，自由变量和基础解系之间的联系和区别是啥

在？？？

自由变量的定义是啥啊

追答

四的1是要求(A-3E)的逆矩阵，原方程是A²-5A+3E先不管后面的常数3E，先考虑前面带A的项(A²-5A)，要配出(A-3E)因为有-3E，所以就要考虑到添个-2E凑成-5，所以想到(A-3E)(A-2E)=A²-5A+6E，因为后面多加了个6E，所以需要减去，整理出来就是(A-3E)(A-2E)-6E=A²-5A，最后再把常数3E加上就行了，以上的E全部考虑成常数1就行了。
自由变量是简化成阶梯型矩阵后类似于从第一列依次往后对应X1,X2,X3...等，一般是这么设，当然也可以根据自己的习惯随意设置变量。解出来的一组自由变量就对应一个基础解系。

追问

自由变量是对应的阶梯型矩阵的每行除去首行非0所在的列的剩下的xn嘛？？？

比如秩为2，有三行不全为0

打错了，我是说，2行全为0

然后秩为3

把三个开头有非0元素的行去掉后，剩下的就是自由变量了，是吧？？？

那基础解系是啥呢？有没有通俗一点的讲法

追答

先把系数矩阵用初等行变换到阶梯形式，那么每一行的最开始非零列数就不是自由变量，除开这些列，其他的就是自由变量。然后自己定这些数的值，再就是带入方程求解。得到的就是基础解系，直接拿例子来说吧：

这个矩阵就是阶梯型矩阵，除去每一行的非零列就是自由变量，对应上面这个矩阵自由变量就是第三列，然后列方程解出基础解系的步骤如下：

按照每一列对应X几的话，第三列为x3属于自由变量，意思就是可以取任意值。通常取0或1，在这里因为x1=x2=0所以x3取的1，解出一组这样的值就对应一个基础解系。
其实在做题的时候清楚基础解系如何求解就可以了，基础解系的定义就是：线性方程组的解集合的极大线性无关组就是这个方程组的基础解系。