Question

高一不等式问题

正实数x,y ，且 xy-x-y=1 ,求证 x+y≥2+根号2

Answer 1

因为xy-x-y=1
所以x+y+1=xy
因为x+y>=2*根号（xy）
所以x+y>=2*根号（x+y+1）
左右平方：
（x+y）^2>=4（x+y）+4
所以（x+y）^2-4(x+y)-4>=0
把x+y看成一个整体：
解得：x+y<=2-2*根号2或x+y>=2+2*根号2
因为x,y 为正实数
所以x+y>=2+2*根号2
你在根号2前面打少了一个2吧

Answer 2

y = (x+1)/(x-1)

f(x) = x+y = (x+1+x^2-x)/(x-1) = (x^2 + 1)/(x-1)

x>0 时, f(x) 在 (0, 1 + 根号2] 上单减, 在 [1 + 根号2, +infinity)上单增

f(1 + 根号2) = 2 + 2根号2

所以, x + y >= 2 + 2根号2 >= 2 + 根号2.

Answer 3

x>=1 y>=1 xy=1+x+y
x+y平方=x平方+y平方+2xy=x平方+y平方+2+2x+2y=x+1的平方+y+1的平方

x+1的平方>=4 y+1的平方>=4
所以x+y平方=x+1的平方+y+1的平方>8
所以x+y≥2根号2

Answer 4

由（x-y）^2>=0得xy<=(x+y)^2/4，于是把它入你的等式得（x＋y）^2-4(x+y)-4>=0，解该式得x+y>=2+2倍的根2，当然你的不等式得证。