Question

函数问题请教~~

已知f(a+b^2)=f(a)+2f^2(b)对a，b属于R恒成立，且f(1)不为0，求f(2010)

Answer 1

首先令a=b=0 f(0)=f(0)+2f^2(0) f(0)=0 再令a=0 b=1
f(1)=f(0)+2f(1)^2 f(1)不为0 f(1)=1/2
令b=1 f(a+1)=f(a)+2f^2(1)=f(a)+1/2
即f(2)-f(1)=1/2
f(3)-f(2)=1/2……
f(2010)-f(2009)=1/2 叠加f(2010)-f(1)=2009/2 f(2010)=1005

Answer 2

当a=0,b=0时
f(0)=f(0)+2f²(0)
f²(0)=0
f(0)=0

当a=0,b=1时
f(1)=f(0)+2f²(1)
f(1)=2f²(1)
∵f(1)≠0
∴两边同时除以f(1）
∴1=2f(1)
f(1)=1/2

f(n+1)=f(n)+2f²(1)=f(n)+2(1/2)²=f(n)+1/2
所以f(2)=f(1)+1/2
f(3)=f(2)+1/2=f(1)+2×1/2

f(2010)=f(1)+2009×1/2=2010×1/2=1005

Answer 3

f(0+0)=f(0)+2f^2(0)
f(0)=0

f(0+1)=f(0)+2f^2(1)
f(1)=2f^2(1)
f(1)=1/2

f(0+b^2)=f(0)+2f^2(b)
f(b^2)=2f^2(b)

f(2)=f(1+1)=f(1)+2f^2(1)=(1/2)+2(1/2)^2=1
f(4)=2f^2(2)=2
f(6)=f(2+2^2)=f(2)+2f^2(2)=3
f(40)=f(4+6^2)=f(4)+2f^2(6)=20
f(3)=f(2+1^2)=f(2)+2f^2(1)=3/2
f(10)=f(1+3^2)=f(1)+2f^2(3)=5
f(20)=f(4+4^2)=f(4)+2f^2(4)=10

f(2010)=f(410+40^2)=f(410)+2f^2(40)
=f(410)+800
=f(10+20^2)+800
=f(10)+2f^2(20)+800
=5+200+800
=1005