Question

求√（x²+4）+√（（x²+9））的最小值

Answer 1

建立平面直角坐标系，
y=4-x+2√(x^2+9)
=(4-x)+√[(x-0)^2+(0-3)^2]+√{(x-0)^2+[0-(-3)]^2}
它的几何意义是(x,0)这个点到三个定点：
(4,0)、(0,3)、(0,-3)的距离之和
(x,0)即位于三点构成三角形的费马点处，x=√3
最小值为4+3√3
如果不知道费马点，可以构造柯西不等式来做的：
根据柯西不等式：
√[(2x)^2+6^2]√[(√3/3)^2+1^2]>=x2√3/3+6
即：√[(2x)^2+6^2]>=(2x√3/3+6)/(2√3/3)=x+3√3
即：2√(x^2+9)>=x+3√3
当x=√3时满足柯西不等式等号成立的条件
那么：
y=4-x+2√(x^2+9)>=4-x+x+3√3=4+3√3
即函数在x=√3时取到最小值为4+3√3