Question

微积分计算（高手进）

帮忙计算一下∫（R，0）2πy√[1+(y')^2]dx （球的表面积），答案是4πR^2，我要的是过程，写详细点，谢谢

Answer 1

分析判断了半天..理解有两反面的,虽然你给的题意很模糊..
我想看成y是x的函数的话,y^2+x^2=R^,这是关系
当y大于0与小于零是对称的情况,那么计算大于0的情况结果乘2就是最后结果
分析:如果利用第一类曲面积分计算球表面,得到的式子是个2重积分,跟你的肯定不一样,除非经过化简.
于是你的式子应该是从第一类曲线积分上考虑.
我们知道第一类曲线积分:曲线L的积分∫(L)dL=∫(a,b)√[1+(y')2]dx
其中点(x,y)在L上
于是你的式子实则为一个曲线积分,其几何意义是将半球的一个纵截面在球表面上得到的曲线,用在xoy平面上的投影的方法
即计算第一类曲线积分的方法计算出来.再通过旋转2π求出表面积.
也许这个题从一个揭示出了一点
第一类曲线积分与第一类曲面积分的关系,那当然斯托克斯公式理论上也可以证明你的问题.
回到问题上来,y=√(R^2-x^2).y'=-x/√(R^2-x^2).
化简进去得到∫(0,R)2πRdx=2πR^2
如前所述,要给这个结果乘以2,得到最后结果4πR^2为球表面积.
其实求球表面或者什么体的表面用第一类曲面积分最简便.