已知直线L:y=3x+3,求(1)点P(4,5)关于L的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线L对称的直线方程。
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已知直线L:y=3x+3,求(1)点P(4,5)关于L的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线L对称的
直线方程
。
解:(1)。设对称点P'的坐标为(m,n),那么P'P的中点((m+4)/2,(n+5)/2)必在L上,因此有等式:
(n+5)/2=(3/2)(m+4)+3,
化简
得
3m-n+13=0.............(1)
P'P⊥L,因此P'P所在
直线的斜率
k=(n-5)/(m-4)=-1/3,化简得:
m+3n-19=0............(2)
(1)(2)联立解得m=-2,n=7;即对称点P'的坐标为(-2,7).
(2)。直线L:y=3x+3.........(1);直线L₁:y=x-2.........(2);
联立求得两直线的交点M(-5/2,-9/2);
在直线L上任取一点,比如P(-1,0);
过P作L的垂直线y=-(1/3)(x+1)........(3),与(2)联立求解,即
令x-2=-(1/3)(x+1),解得x=5/4,y=-3/4,即(3)与(2)的交点为N(5/4,-3/4);
设与N关于L对称的点N‘的坐标为(m,n),
那么NN'的
中点((m+5/4)/2,(n-3/4)/2)=((4m+5)/8,(4n-3)/8)就是点P,故有
(4m+5)/8=-1,于是得m=-13/4;(4n-3)/8=0,即有n=3/4;即N'的坐标为(-13/4,3/4);
MN'所在的直线即为所求。
KMN'=(3/4+9/2)/(-13/4+5/2)=-7;
故所求之对称线的方程为:y=-7(x+5/2)-9/2,即7x+y+22=0为所求。
直线方程
。
解:(1)。设对称点P'的坐标为(m,n),那么P'P的中点((m+4)/2,(n+5)/2)必在L上,因此有等式:
(n+5)/2=(3/2)(m+4)+3,
化简
得
3m-n+13=0.............(1)
P'P⊥L,因此P'P所在
直线的斜率
k=(n-5)/(m-4)=-1/3,化简得:
m+3n-19=0............(2)
(1)(2)联立解得m=-2,n=7;即对称点P'的坐标为(-2,7).
(2)。直线L:y=3x+3.........(1);直线L₁:y=x-2.........(2);
联立求得两直线的交点M(-5/2,-9/2);
在直线L上任取一点,比如P(-1,0);
过P作L的垂直线y=-(1/3)(x+1)........(3),与(2)联立求解,即
令x-2=-(1/3)(x+1),解得x=5/4,y=-3/4,即(3)与(2)的交点为N(5/4,-3/4);
设与N关于L对称的点N‘的坐标为(m,n),
那么NN'的
中点((m+5/4)/2,(n-3/4)/2)=((4m+5)/8,(4n-3)/8)就是点P,故有
(4m+5)/8=-1,于是得m=-13/4;(4n-3)/8=0,即有n=3/4;即N'的坐标为(-13/4,3/4);
MN'所在的直线即为所求。
KMN'=(3/4+9/2)/(-13/4+5/2)=-7;
故所求之对称线的方程为:y=-7(x+5/2)-9/2,即7x+y+22=0为所求。
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(1)设该对称点为q(x,y)点,则直线pq垂直于直线l,直线pq的斜率为(-1/3),过点p(5,3)且斜率为(-1/3)的直线pq的方程为:y=(-1/3)x+(14/3),再根据直线l和直线pq的方程可以解得两直线的交点坐标为m(0.5,3.5),因为是对称点,所以点p到m的距离等于点q到m的距离,所以可以列方程求解:(5-0.5)^2+(3-3.5)^2=(x-0.5)^2+[(-1/3)x+(14/3)-3.5]^2
解得x=(-17/5)
y=87/15
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