Question

已知直线L：y=3x+3,求（1）点P（4,5）关于L的对称点；（2）直线x-y-2=0关于直线L对称的直线方程。

Answer 1

已知直线L：y=3x+3,求（1）点P（4,5）关于L的对称点；（2）直线x-y-2=0关于直线L对称的
直线方程
。
解：(1)。设对称点P'的坐标为(m，n)，那么P'P的中点((m+4)/2，(n+5)/2)必在L上，因此有等式：
(n+5)/2=(3/2)(m+4)+3，
化简
得
3m-n+13=0.............(1)
P'P⊥L，因此P'P所在
直线的斜率
k=(n-5)/(m-4)=-1/3，化简得：
m+3n-19=0............(2)
(1)(2)联立解得m=-2，n=7；即对称点P'的坐标为(-2，7).
(2)。直线L：y=3x+3.........(1)；直线L₁：y=x-2.........(2)；
联立求得两直线的交点M(-5/2，-9/2)；
在直线L上任取一点，比如P(-1，0)；
过P作L的垂直线y=-(1/3)(x+1)........(3)，与(2)联立求解，即
令x-2=-(1/3)(x+1)，解得x=5/4，y=-3/4，即(3)与(2)的交点为N(5/4，-3/4)；
设与N关于L对称的点N‘的坐标为(m，n)，
那么NN'的
中点((m+5/4)/2，(n-3/4)/2)=((4m+5)/8，(4n-3)/8)就是点P，故有
(4m+5)/8=-1，于是得m=-13/4；(4n-3)/8=0，即有n=3/4；即N'的坐标为(-13/4，3/4)；
MN'所在的直线即为所求。
KMN'=(3/4+9/2)/(-13/4+5/2)=-7；
故所求之对称线的方程为：y=-7(x+5/2)-9/2，即7x+y+22=0为所求。

Answer 2

（1）设该对称点为q(x,y)点，则直线pq垂直于直线l，直线pq的斜率为（-1/3），过点p（5，3）且斜率为（-1/3）的直线pq的方程为：y=（-1/3）x+（14/3），再根据直线l和直线pq的方程可以解得两直线的交点坐标为m（0.5，3.5），因为是对称点，所以点p到m的距离等于点q到m的距离，所以可以列方程求解：（5-0.5）^2+(3-3.5)^2=(x-0.5)^2+[（-1/3）x+（14/3）-3.5]^2
解得x=(-17/5)
y=87/15