Question

高中解析几何

已知点H(-3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足向量HP乘以向量PM等于0，向量PM等于-3/2向量MQ。
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程。
（2）过T（-1,0)作直线与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0，0），使△ABE为等边三角形，求x0的值。

Answer 1

1.
设P(0,y0),Q(x0,0)，M(x,y)，且x0>0
于是，由HP向量点乘PM向量=0可知：（3，y0).(x0,-y0)=0
化简得：3x0-y0^2=0 （*）
根据定比分点公式可得x=3x0,y=-2y0，即x0=x/3,y0=-y/2代入得：
x-y^2/4=0 (x>0)

2.
通过两个方程求得k和X0的两个关系，从而求得他们的值
一：直线过(-1，0)，得出直线的方程可写为y=k(1+x)
二：设线段AB的中点C，那么线段CE的斜率为-1/k，由此就有一个k和x0的关系式
三：点（x0,0）到直线的距离可以表达出来，因为AB的长度可以算出来。如果计算比较麻烦，你可以考虑角度。就在于你自己对复杂计算的处理能力了。由此可得第二个关系式
有两个有关k和x0的关系式，就可以求出来
由第二步算出来x0=2/k²+1。
求出AB的中点坐标为((2-k²)/k²，2/k)
算出CE的长度为√(4/k²+4)
然后算AB的长度：
先列出直线y=k(1+x)与抛物线y^2=4x的交点方程
(k/4)y²-y+k=0
AB的长度为√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]，将y=k(1+x)代入，化简得：
AB=√(1+1/k²)√(y1-y2)²
由韦达定理根与系数的关系可化简得：
AB=4√(1/k^4-1)和前面的CE=√(4/k²+4)
CE=√3/2×AB可以解得K²=3/4，k=±√3/2。
x0=2/k²+1=11/3

Answer 2

X0=11/3看图

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