Question

一个高一证明题

如图，已知四棱锥P-ABC的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点，AO交BD于E。
（1）求证：PA⊥BD
(2)求证：平面PAD⊥平面PAB

Answer 1

(1)取BC的中点O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC为等边三角形,

∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系

剩下的太难打

看图吧

Answer 2

1）O是BC的中点，则OB=DC=1，又因为BA=CB=2，∠ABC=∠BCD=90°
所以三角形OAB全等于三角形DBC
∠OAB=∠DBC
则∠OAB+∠AOB=∠DBC+∠AOB=90°，所以BD⊥AO

又因为BC=PB=PC,O是BC的中点，所以PO⊥BC，又因为PBC⊥底面ABCD
所以PO⊥底面ABCD，BD⊥PO
所以BD⊥面AOP
所以PA⊥BD

2）取PA的中点M，连接BM，DM，AB=PB，则BM⊥PA
AB⊥BC,AB⊥PO,所以AB⊥BP，AB=PB，所以BM=sqrt(2),PA=2*sqrt(2)
其中sqrt表示根下
AD的长度可求为sqrt(5)=PD=BD
则DM=sqrt(3)
DM^2+BM^2=BD^2三角形BDM是直角三角形
DM⊥BM
又BM⊥PA
所以BM⊥平面PAB ，即平面PAD⊥平面PAB

Answer 3

等一会