Question

高考数列题

设数列an前n项和为Sn，且Sn满足S1=2,Sn+1=3Sn+2，（n=1,2,3..）
求证 数列Sn+1为等比数列（不可用列举法）
求通项公式an
1楼的回答麻烦您再细致下

Answer 1

(1)证明：
因为S(n+1)=3Sn+2，所以S(n+1)+1=3Sn+3=3(Sn+1).
因为S1+1=2+1=3≠0，所以Sn+1≠0，因此[S(n+1)+1]/(Sn+1)=3.
所以数列{Sn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列.
所以Sn+1=(S1+1)*q^(n-1)=3*3^(n-1)=3^n，因此Sn=3^n-1.
(2)解：
当n=1时，a1=S1=2；
当n>1时：
Sn=3^n-1
S(n-1)=3^(n-1)-1.
所以an=Sn-S(n-1)=(3^n-1)-[3^(n-1)-1]=3*3^(n-1)-1*3^(n-1)=2*3^(n-1).
因为a1=2，符合上式，所以通项公式an=2*3^(n-1).

Answer 2

Sn+1=3Sn+2
则Sn=3S(n-1)+2
两式相减：a(n+1)=3an
所以是等比
有a1=5
公比是3，
所以an=5*3^(n-1)