Question

高中数列题

已知数列{an}满足a1=3，an*a（n+1）=（1/2）^n,(n∈N)求此数列前2n项之和。

过程。

Answer 1

可以试几项，用数学归纳法求出（若不分奇偶项可用高斯函数，实质一样）
n为奇数，an=3/(2^((n-1)/2))
n为偶数，an=1/(3*2^(n/2))
a2+a3=10/3*(1/2),a4+a5=10/3*(1/2)^2……
所以n为偶数时，sn=3+10/3*(（1/2）^1+(1/2）^2+……+（1/2）^（(n-2)/2）+1/(3*2^(n/2))
自己化简一下

Answer 2

an*a(n+1)=(1/2)^n
an*a(n-1)=(1/2)^(n-1)

a(n+1)=a(n-1)/2

a1=3

a1*a2=(1/2)^1
a2=1/6

对于n为奇数，an=3*2^((1-n)/2)

n为偶数，an=(1/3)*2^(-n/2)

S(2n)=3*(1+1/2+1/4+……+1/(2^(n-1)))+(1/3)*(1/2+1/4+……+1/(2^n))
=(2-(1/2^(n-1)))*3+(1-1/(2^n))/3