Question

已知函数f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx当a>0时求f(x)的单调区间

Answer 1

f(x)=1/2ax^2-(a+1)x+lnx
--->
f'(x)=ax+1/x-(a+1)
令f'(x)=0,则
ax+1/x-(a+1)=0,
解得：x1=1
,x2=1/a
定义域x∈(0,∞)
若0<a<1,则
当x∈(0,1),
f''(x)=a-1/x^2<a-1<0，∴f'(x)单调减
∴f'(x)>f'(1)=0
∴f(x)单调上升；
当x∈[1,1/a],f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x≤0
∴f(x)单价下降；
当x∈(1/a,∞),
f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x>0
∴f(x)单调上升；
若a=1,则
f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x=(x-1)^2/x≥0
∴f(x)在整个定义域单调上升；
若a>1,则
当x∈(0,1/a),
f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x>0
∴f(x)单调上升；
当x∈[1/a,1],f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x≤0
∴f(x)单价下降；
当x∈(1,∞),
f'(x)=ax+1/x-(a+1)=(ax-1)(x-1)/x>0
∴f(x)单调上升；