Question

矩阵合同其秩为什么相同？

Answer 1

1.
合同的定义，存在可逆矩阵P，使B=P^TAP，则称A与B合同。既然P可逆，那么P^T和P都是满秩阵，所以B的秩与A的秩相同。
2.
若P,Q可逆,
则
r(A)
=
r(PA)
=
r(AQ)
=
r(PAQ).即与可逆矩阵相乘秩不改变。
3.
一个矩阵乘上一个满秩的方阵秩不变。
4.
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得C^TAC=B
,则称方阵A合同于矩阵B.
5.
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。