Question

【线性代数】用行列式性质证明下列等式

Answer 1

这个性质是某列(行)的元素若都是两个数的和,
则行列式可分拆为两个行列式的和.
可用定义证明,
考虑行列式的第2个定义(定理2),
按列标自然序展开的定义.
定义中的每一项ap11ap22...apii...apnn中第i列元都替换为两个数的和
则每一项可分拆成两个数的和
列标排列的逆序数没有改变
行列式整个和号也分拆成了两个大和号的和
即行列式分拆成两个行列式的和.

Answer 2

题目有一点打错，第一行第二列应为a12
这个题其实可以直接把两边的行列式都拆开，然后验证相等
但其实还有一种更方便的方法：
利用Laplace定理，把行列式同时按多行多列展开
明显有上面结果
有不懂欢迎追问

Answer 3

这个用行列式定义即证
也可以用分块矩阵证明。
det(A
O
O
B)
=det(AB)
用LAPLACE定理，按照第1，2行和第1，2列展开也行，这时A的余子式为B
行列式=(-1)^（1+2+1+2）*AB=AB即证