Question

已知f(x+1/x）=x²+1/x²+1/x，求f（x）

Answer 1

请问，原题是否缺少条件“f(0)=0”？如果补上条件“f(0)=0”，原题将可被完整地解出。
解：
因为f(x
1)-f(x)=x
1
所以，
f(x)-f(x-1)=x
f(x-1)-f(x-2)=x-1
……
f(3)-f(2)=3
f(2)-f(1)=2
所以，
[f(x
1)-f(x)]
[f(x)-f(x-1)]
[f(x-1)-f(x-2)]
…
[f(3)-f(2)]
[f(2)-f(1)]
=(x
1)
x
(x-1)
…
3
2
所以，f(x
1)-f(1)=(x
1)
x
(x-1)
…
3
2
所以，f(x
1)=(x
1)
x
(x-1)
…
3
2
f(1)
因为f(x
1)-f(x)=x
1
且f(0)=0
所以，f(1)-f(0)=0
1
所以，f(1)=1
所以，f(x
1)=(x
1)
x
(x-1)
…
3
2
1
因为(x
1)
x
(x-1)
…
3
2
1=0.5(x
1)[(x
1)
1]
所以，f(x
1)=0.5(x
1)[(x
1)
1]
所以，f(x)=0.5x(x
1)
所以，f(x)=0.5x^2
0.5x