Question

设f(x)在[0,2π]上具有二阶连续导数,且f''(x)>=0证明∫0 2πf(x)cosxdx>=0

Answer 1

解答：

f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f''(a)(0-x)^2

f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+0.5f''(b)(1-x)^2

两式相减,移项,取绝对值得|f'(x)|=|f(1)-f(0)+0.5f''(a)x^2-0.5f''(b)(1-x)^2|

导数

是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

Answer 2

楼上复制来的什么玩意儿，回答题主如图

Answer 3

∫f(x)
sinx
dx
=∫
-f(x)
d(cosx)
=
-f(x)
*cosx
+∫
cosx
d[f(x)]
=
-f(x)
*cosx
+∫
f'(x)
d(sinx)
而∫
f"(x)
sinx
dx
=∫
sinx
d(f'(x))
=
f'(x)sinx
-∫
f'(x)
d(sinx)
所以二者之和为
-f(x)
*cosx+f'(x)sinx
代入上下限0和π
定积分值为f(0)+f(π)=a+b