Question

高一数学难题

已知sina-sinb=1/3,cosa+cosb=3/7,0小于a,b小于2分之派,求sin(a+b)/2的值.

Answer 1

因为cos(a+b)=1-2[sin(a+b)/2]^2
所以只要求出cos(a+b)便可以得出sin(a+b)/2，并且sin(a+b)/2 的值必定为正
又因为(sina-sinb)^2=1/9，即sina^2-2sina*sinb+sinb^2=1/9
(cosa+cosb)=9/49,即cosa^2+2cosa*cosb+cosb^2=9/49
两式相加得到：
sina^2+cosa^2+2cosa*cosb-2sina*sinb+sinb^2+cosb^2=130/441
化简为1+2（cosa*cosb-sina*sinb）+1=130/441
所以cosa*cosb-sina*sinb=-376/441
而cosa*cosb-sina*sinb=cos(a+b)==-376/441
所以sin(a+b)/2就可以求出来了。

Answer 2

sinA-sinB=1/3……①
cosA+cosB=3/7……②
①²+②²得：1+1+2cosAcosB-2sinAsinB=1/9+9/49
cos(A+B)=-752/882
∵cos 2x = 1 - 2 sin²x
∴sin x =± √[(1-cos2x)/2]
∴sin((A+B)/2)=±√130/42
又∵0<A,B<π/2
∴0<(A+B)/2<π
∴sin((A+B)/2)>0
∴sin((A+B)/2)=√130/42

Answer 3

(sina-sinb)^2+(cosa+cosb)^2=2+2cos(a+b)=130/441
所以cos(a+b)=-376/441
cos(a+b)=1-2sin^2(a+b)/2
所以sin(a+b)/2

Answer 4

(sina-sinb)^2+(cosa+cosb)^2=130/441
2+2cos(a+b)=130/441
cos(a+b)=-376/441....1

cos(a+b)={cos[(a+b)/2]}^2-{sin[(a+b)/2]}^2
=1-2{sin[(a+b)/2]}^2

sin[(a+b)/2]=√[(1-cos(a+b))/2] 把1代入。