Question

可降阶的二阶微分方程求特解，题目见图片？

如果按照不显含x型计算，求详细过程，主要是绝对值是怎么讨论的要说明。

Answer 1

方法如下图所示，请认真查看，祝学习愉快：

追问

请问从第3行到第4行，绝对值为什么直接拿掉了，万一里面的值是负的怎么办？

追答

绝对值符号是为了保证对数有意义。
取消绝对值符号，
y的定义域自动恢复

Answer 2

设y'=p
y''=dp/dx
=dp/dy×dy/dx
=pdp/dy
代入：
pdp/dy十p²=1
pdp=（1-p²）dy
pdp/（1-p²）=dy
-（1/2）d（p²-1）/（p²-1）=dy
（-1/2）ln|p²-1|=y十C1
ln|p²-1|=-2y-2C1
|p²-1|=e^（-2C1）e^（-2y）
p²-1=±De^（-2y）
其中D是常数，常数，可正可负，前面的±号可以合并到常数里面（比较难理解，比如D＝2,后面的系数就是±2，无论十2,还是负2，都是常数），设E=±D，
p²=1十Ee^（-2y）
p=±√[1十Ee^（-2y）]
x=0,y=0,p=0
1十E=0，E=-1
p²=1-e^（-2y）
齐次
p²=-e^（-2y）
p=±ie^（-y）
e^ydy=±idx
e^y=±ix十C1
变常数法：
求导
e^y.p=±i十C1'
p=±ie^（-y）十C1'e^（-y）
p²=-e^（-2y）±2iC1'e^(-2y)十C1'²e^（-2y）=1-e^（-2y）
C1'²e^（-2y）±2iC1'e^（-2y）=1