Question

求下列函数的导数?

我的高中基础不好 希望您能解析的详细点 谢谢

Answer 1

（1）这个函数是 y=x^(3*log(3,x))?
如果是这样的话 lny=3log(3,x)lnx=3(lnx)^2/ln3
两边求导得 1/y *y'=3*2lnx *1/x *1/ln3=6lnx/(xln3)
y'=y*(6lnx/(xln3))=6log(3,x)*x^[3log(3,x)-1]

(2)y'=2coslnx*(-sinlnx)*1/x=-sin(2lnx)/x

(3)y'=-sin(ln^2x)*2lnx*1/x=-2sin(ln^2x)lnx/x

(4)y'=-sin(lnx^2)*1/x^2*2x=-2sin(lnx^2)/x

(5)y = ln√(1+x^2)-ln√(1-x^2)
y'=1/√(1+x^2)*1/2*(1+x^2)^(-1/2)*2x-1/√(1-x^2)*1/2*(1-x^2)^(-1/2)*(-2x)=x/(1+x^2)+x/(1-x^2)=2x/(1-x^4)

(6)lny=2x(1+ln2)
两边求导得 1/y*y'=2(1+ln2)
y'=y*2(1+ln2)=2(1+ln2)(2e)^(2x)

(7)取对数 得 lny=sin2x*ln10
求导得 1/y*y'=cos2x*2*ln10
y'=2ln10*cos2x*10^(sin2x)

(8)这个ln3是加在什么地方的？
如果是常数
y'=(e^x*x^2-2x*e^x)/x^4=e^x*(x-2)/x^3
如果加在分子上
y'=(e^x*x^2-2x*(e^x+ln3))/x^4=(xe^x-2e^x-2ln3)/x^3

Answer 2

(1)设log3(x)=k,有x=3^k,y=x^[3*log3(x)]=(3^k)^(3k)=3^(3*k^2)=(3^3)^(k^2)=27^(k^2),y'=27^(k^2)*ln27*2k*log3(e)/x,带入k=log3(x),得到,y'=4*ln(x)/x*27^{[log3(x)]^2}

(2)y=[cos(lnx)]^2,y'=2cos(lnx)*[-sin(lnx)]/x=-2cot(lnx)/x

(3)y=cos[(lnx)^2],y'=-sin[(lnx)^2]*2lnx/x

(4)y=cos[ln(x^2)],y'=-sin[ln(x^2)]*2/x

(5)y=1/2*ln[(1+x^2)/(1-x^2)],y'=1/2*(1-x^2)/(1+x^2)*[2x*(1-x^2)-(-2x)*(1+x^2)]/(1-x^2)^2=2x/(1-x^4)

(6)y=(2e)^(2x)=[(2*e)^2]^x=(4*e^2)^x,y'=(4*e^2)^x/(ln4+2)

(7)y=10^(sin2x),y'=10^(sin2x)/ln10*2*cos2x

(8)y=e^x/(x^2)+ln3,y'=[e^x/(x^2)+ln3]'=[e^x/(x^2)]'=(e^x*x^2-2x*e^x)/x^4=e^x*(x-2)/x^3

其中用到(f/g)'=(f'g-g'f)/g^2,还有f'[g(x)]=f'(g)*g'(x)..

写得非常简略,哪有不清楚的可以问我..

Answer 3

楼上：（2）应为-sin(2lnx)/x
(7）应为10^(sin2x)*ln10*2*cos2x