Question

为什么两个线性无关等价的向量组必含有相同个数的向量

Answer 1

因为两个向量组本身线性无关，则两个向量组本身均为极大无关组，而两个向量组等价，所以所含向量的个数相等。
向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。
扩展资料：
线性无关则一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关;
若a≠0,
则说A线性无关。
一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
参考资料来源：搜狗百科-线性相关
参考资料来源：搜狗百科-等价向量组

Answer 2

当然不等价！楼主先查一下等价是啥意思？
等价的定义是这个：
两个线性无关向量组，其中一个能由另一个线性表出，另一个也能由这一个线性表出，且它们的向量的个数相同，这两个向量组等价。
你既然：不知道另一个能不能由这一个线性表出？
肯定就不等价了啊！
如：
(1,0,1，1)
(1,1,1，2)(0,0,0,1)无关，
（1，-2，1，0）（1，1，1，0）(1,0,1,0)也无关。前者可以线性表示后者，后者不能表示前者。
但如果它们是极大无关组，则都构成向量空间秩，那就是等价的。因为此时所有向量都可以用它们表示。不然的话我完全可以用一组向量组制造一个线性无关的向量组，而后者无法表示前者。

Answer 3

因为每个无关组内部的向量都是一个独立的因素，等价的向量组独立的因素个数不会减少
要数学证明也简单，设(a1,a2,...,at)和(b1,b2,...,bs)等价
假设他们个数不等，且t>s，则
由于a1,...,at都可以由(b1,b2,...,bs)表示，写成
a1
=
c11
b1
+c12b2
+...
+c1sbs
a2
=
c21
b1
+c22b2
+...
+c2sbs
.....
at
=
ct1
b1
+ct2b2
+...
+ctsbs
或者写成矩阵形式，A=
C
B
其中C是txs矩阵
根据矩阵性质r(A)
<=
min(r(C),r(B)
)
=>
r(A)<=r(B)
也就是a向量构成矩阵的秩不大于b向量
反方向也可以证明r(A)>=r(B)
从而r(A)=r(B)