Question

变上限积分求导？

Answer 1

f(x)=∫(a,x)xf(t)dt，此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；
第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。
积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．
事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。

Answer 2

令x-t=u，
则dt=
-du，
故∫(0到x)f(x-t)dt
=
-∫(x到0)f(u)du
=∫(0到x)f(u)du，
于是
x∫(0到x)f(x-t)dt
=
x
∫(0到x)f(u)du，
所以
d
[x∫(0到x)f(x-t)dt]
/dx
=
d
[
x
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
=
x
*
d
[
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
+
dx/dx
*
∫(0到x)f(u)du
注意在这里，变上限积分函数∫(0到x)f(u)du
对x求导的话，
求得的导数就是f(x)而不是f(u)，
因此，
d
[x∫(0到x)f(x-t)dt]
/dx
=x
*
d
[
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
+
dx/dx
*
∫(0到x)f(u)du
=x
*
f(x)
+
∫(0到x)f(u)du
不是xf(u)可不可以直接换成xf(x)的问题，
而是对其求导得到的就是xf(x)

Answer 3

令x-t=u，
则dt=
-du，
故∫(0到x)f(x-t)dt
=
-∫(x到0)f(u)du
=∫(0到x)f(u)du，
于是
x∫(0到x)f(x-t)dt
=
x
∫(0到x)f(u)du，
所以
d
[x∫(0到x)f(x-t)dt]
/dx
=
d
[
x
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
=
x
*
d
[
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
+
dx/dx
*
∫(0到x)f(u)du
注意在这里，变上限积分函数∫(0到x)f(u)du
对x求导的话，
求得的导数就是f(x)而不是f(u)，
因此，
d
[x∫(0到x)f(x-t)dt]
/dx
=x
*
d
[
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
+
dx/dx
*
∫(0到x)f(u)du
=x
*
f(x)
+
∫(0到x)f(u)du
不是xf(u)可不可以直接换成xf(x)的问题，
而是对其求导得到的就是xf(x)

Answer 4

设u=x-t
则t=x-u
t的上下限为0---x，所以u的上下限为x----0
，此时dt
=d(x-u)=
-
du
x∫(0到x)f(x-t)dt
=x∫(x到0)f(u)(-
du)=
-
x∫(0到x)f(u)(
-
du)=
x∫(0到x)f(u)du
下面求导数得：xf(x)+)+∫(0到x)f(u)du
=xf(x)+)+∫(0到x)f(t)dt

Answer 5