Question

求证两道高中数学题

(1)若函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于直线y=x对称，求证函数y=f(2x)与y=1/2g(x)的图像也关于直线y=x对称
(2)若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)=f(2-x),求证f(x)为周期函数

Answer 1

解：（1）∵函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于直线y=x对称

∴y=f（x），x=g（y）两个x，y等价

又y=f（2x）

所以其反函数为2x=f（y）

所以x=1/2f（y）

∴y=1/2g（x）

∴函数y=f(2x)与y=1/2g(x)的图像也关于直线y=x对称

如果还没听懂，就拿f（x）=2^x，g（x）=log2（x）代入

（2）因为奇函数，∴f(2-x)=-f(2+x)

又f（x）=f（2-x）

即f（x）=-f（2+x）

∴f（x+2）=-f（4+x）

∴f（x）=f（x+4）

∴f（x）是以4为周期的周期函数

Answer 2

1，由题意得：
函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于直线y=x对称，
则y=f(x)与y=g(x）互为反函数，
则：g(x）=f~(x)
y=f(2x)求反函数为2x=g(y)推出x=g(y)/2
最后x,y互换，所以y=g(x)/2
所以：函数y=f(2x)与y=1/2g(x)的图像也关于直线y=x对称
2，原函数是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=f(2-x)=f(-(x-2))=-f(x-2)
又因为 f(-x)=-f(x)=f(2+x)
所以f(x+2)=f(x-2)
令t=x-2
则：f(t)=f(t+4)
所以原函数是周期函数