Question

二重积分的一个问题

Answer 1

关于x是奇函数，就是把y看成常数，实在理解不了，就把y看成是1，如z=xy，看成z=x，就是奇函数，z=x^2*y，看成z=x^2，就是偶函数，讨论关于x是什么函数，与y无关，讨论关于y是什么函数，与x无关。
关于x是奇函数，把y看成常数，积分区域关于y轴对称时，它的积分你可以按照定积分的方法理解，y=sin
x，在﹣π到π上，在x轴上方和下方的面积相等，代数和为0，定积分为0。二重积分同理，z=y*sin
x，在﹣π到π上，在空间里z关于原点对称，所以xoy平面上方和下方的体积相等，代数和为0。
被积函数是关于y是奇函数，且积分区域是关于x轴对称的，那么它的积分是0。同理。

Answer 2

1)相当于一个三角形面积
三条直线交点为(0,0),(π/2,π/2),(π/2,π)
s=(1/2)*(π/2)*(π-π/2)=π^2/8
2)∫∫(1+x)ydσ
=∫(0~1)∫(0~x+1)
(x+1)y
dxdy
=∫(0~1)
[(x+1)y^2/2](0~x+1)
dx
=∫(0~1)
(x+1)^3/2
dx
=(x+1)^4/8
(0~1)
=16/8-1/8=15/8