Question

y''=(y')³+y'的通解

Answer 1

显然,y=0是原方程的解
若当y≠0时,
∵(x-2xy-y^2)y'+y^2=0
==>y^2dx/dy+(1-2y)x=y^2.(1)
∴方程(1)是关于y一阶线性微分
于是,由一阶线性微分方程通解公式,得方程(1)的通解是
x=y^2(1+Ce^(1/y))
(C是常数)
故原方程的通解是y=0和x=y^2(1+Ce^(1/y)).

Answer 2

解:微分方程为y"=y'³+y'，设y'=u，微分方程化为u'=u(u²+1)，du/[u(u²+1)]=dx，

du/u-udu/(u²+1)=dx，2du/u-2udu/(u²+1)=2dx，lnu²-ln(u²+1)=2x+lnc²，有

u²/(u²+1)=c²e^2x，u²=u²c²e^2x+c²e^2x，u²=c²e^2x/(1-c²e^2x)，u=ce^x/√(1-c²e^2x)，y'=ce^x/√(1-c²e^2x)，微分方程的通解为y=arcsin(ce^x)

请参考

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如：

牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律；

天文学家亚当斯和天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。

解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。

微分方程求解泛函

如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。

现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。

Answer 3

令y`=p,则y``=pdp/dy,得pdp/dy=p^3
p
当p=0时，y=c为原方程的解；当p不等于0时，dp/dy=1
p^2
即dp/(1
p^2)=dy
积分得arctanp=y-c1
即y`=p=tan(y-c1)
分离变量dy/tan(y-c1)=dx
积分得lnsin(y-c1)=x
lnc2
故sin(y-c1)=c2*e^x
即y=arcsinc2*e^x
c1