Question

如图△ABC中AB=AC,∠A=90°,D为BC中点,E,F分别为AB,AC上的点且满足EA=CF求证DE=EF

Answer 1

分析：（1）先连接ad，构造全等三角形：△bed和△afd．ad是等腰直角三角形abc底边上的中线，所以有∠cad=∠bad=45°，ad=bd=cd，而∠b=∠c=45°，所以∠b=∠daf，再加上be=af，ad=bd，可证出：△bed≌△afd，从而得出de=df，∠bde=∠adf，从而得出∠edf=90°，即△def是等腰直角三角形；
（2）还是证明：△bed≌△afd，主要证∠daf=∠dbe（∠dbe=180°-45°=135°，∠daf=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．
（1）证明：连接ad
∵ab=ac，∠bac=90°，d为bc的中点，
∴ad⊥bc，bd=ad．
∴∠b=∠dac=45°
又be=af，
∴△bde≌△adf（sas）．
∴ed=fd，∠bde=∠adf．
∴∠edf=∠eda+∠adf=∠eda+∠bde=∠bda=90°．
∴△def为等腰直角三角形．
（2）解：△def为等腰直角三角形．
证明：若e，f分别是ab，ca延长线上的点，如图所示：
连接ad，
∵ab=ac，
∴△abc等腰三角形，
∵∠bac=90°，d为bc的中点，
∴ad=bd，ad⊥bc（三线合一），
∴∠dac=∠abd=45°．
∴∠daf=∠dbe=135°．
又af=be，
∴△daf≌△dbe（sas）．
∴fd=ed，∠fda=∠edb．
∴∠edf=∠edb+∠fdb=∠fda+∠fdb=∠adb=90°．
∴△def仍为等腰直角三角形