Question

如图正方形abcd的边长为4,点e在cb

如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是射线CB上的一个动点,过点D作DF⊥DE,交BA的延长线与点F,EF交对角线AC所在的直线与点M,DE交AC于点N.
（1）求证：CE＝AF
（2）求证：MF＝ME
（3）随着点E在射线CB上运动,NA*MC的知是否会发生变化?若不变,请求出NA*MC的值；若变化,请说明原因.

Answer 1

(1)证明：DF⊥DE,所以∠ADF+∠ADE=90
ABCD为正方形,所以∠CDE+∠ADE=90
因此∠ADF=∠CDE
在△ADF和△CDE中
∠ADF=∠CDE,∠DAF=∠DCE=90,AD=CD
所以△ADF≌△CDE.因此AF=CE
（2）从E作EP垂直BC,交AC于P
AF⊥BC,EP⊥BC.
所以AF∥EP,∠AFM=∠PEM,∠FAM=∠EPM
因为P在AC上,∠ECP=45.所以CE=PE
由（1）结论可得AF=PE
在△AFM和△PEM中,
∠AFM=∠PEM,∠FAM=∠EPM,AF=PE
所以△AFM≌△PEM.因此MF=ME
（3）由（1）中三角形全等可得DE=DF,所以△DEF为等腰直角三角形,∠DEF=45
由（2）结论可得M为EF中点,所以DM⊥EF.
故∠MDE=45
∠CMD为△AMD外角,∠CMD=∠MDA+∠DAC=∠MDA+45
∠ADN=∠MDA+∠MDE=∠MDA+45
所以∠CMD=∠ADN
∠DCM=∠DAN=45
因此△MCD∽△DAN
MC：DA=DC：NA
MC×NA=DA×DC=4×4=16
因此NA和MC的乘积不发生变化