Question

limx→0(x+e^x)^(1/x)详细步骤!

Answer 1

等价无穷小：e^x - 1 ~ x 

所以原式 = lim(x→0) x2 / 3x2 = 1/3 

洛必达法则：lim(x→+∞) lnx / x^α =lim(x→+∞) (1/x) / αx^(α-1) = 0 

lim(x→∞) (1 + 1/x)^x 

= e lim(x→∞) (1 - 1/x )^(x+1) 

= lim(x→∞) [ ( 1+ 1/(-x) ) ^(-x) ] ^(-1) * (1 - 1/x) 

= 1/e 5、lim(x→0) (tanx - sinx) / (sin2x)3 

= lim(x→0) (tanx - sinx) / (8sin3x cos3x ) 

= lim(x→0) (sinx - sinxcosx) / (8sin3xcos?x) 

= lim(x→0) (1 - cosx) / (8sin2xcos?x) 

= lim(x→0) (x2/2) / (8x2) 

= 1/16

扩展资料：

在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法 。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

参考资料来源：百度百科——洛必达法则

Answer 2

设y=(x+e^x)^(1/x)则：y^x=x+e^xxlny=ln(x+e^x)lny=[ln(x+e^x)]/xlim(x->0)lny=lim(x->0)=lim(x->0)[ln(x+e^x)]/x=lim(x->0) (1+e^x)/(x+e^x)=2lim(x->0)y=e^2即：lim(x->0) (x+e^x)^(1/x)=e^2