Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O

恰好在CD上。
（1）求证：BC⊥A1DA;
（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD;
（3）求三棱锥A1-BCD的体积。
是A1D，打错了。

Answer 1

(1)因A10的射影O在CD上，故A1O垂直于底面，故A1O垂直于BC,又因ABCD是矩形，故BC垂直于CD,所以BC垂直于面CDA1,故BC垂直于A1D,证毕。
(2)因A1D垂直于A1B,再由上一步证明的结果，可知A1D垂直于面A1BC,故一切过A1D的面都垂直于面A1BC,即面A1BD垂直于面A1BC,得证。
(3)连接A1O,A1O*CD=A1D*A1C,可求得A1O;
三角形BCD的底面积易得，
有三棱锥的体积公式：1/3（Sh）易得体积为：300/根号34

Answer 2

解：由题意知A1O⊥平面BCD。过点O作OE⊥BD于点E，连接A1E，则A1E⊥BD。
二面角A1-BD-C的平面角即<A1EO。
直角三角形BA1D中，A1E=A1D*A1B/BD=6*10/√(6^2+10^2)=15√34/17
DE=√(A1D^2-A1E^2)=√[6^2-(15√34/17)^2]=9√34/17
根据相似原理有BC/CD=OE/DE得
OE=DE*BC/CD=9√34/17*6/10=27√34/85
cos<A1EO=OE/A1E=27√34/85/(15√34/17)=9/25
sin<A1EO=√[1-(9/25)^2]=4√34/25

Answer 3

证明：（1）连接A1O，
∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A1O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD
∴BC⊥A1O
又BC⊥CO，A1O∩CO=O，
∴BC⊥平面A1CD，又A1D⊂平面A1CD，
∴BC⊥A1D

（2）∵ABCD为矩形，∴A1D⊥A1B由（Ⅰ）知A1D⊥BC，A1B∩BC=B
∴A1D⊥平面A1BC，又A1D⊂平面A1BD
∴平面A1BC⊥平面A1BD
（3）∵A1D⊥平面A1BC，
∴A1D⊥A1C．
∵A1D=6，CD=10，∴A1C=8，
∴V A1−BCD=V B−A1CD=1/3(1/2•6•8)•6=48．
故所求三棱锥A1-BCD的体积为：48．

Answer 4

BC⊥A1DA是不可能的。