Question

A组：已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e=233，一条...

A组：已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e=233，一条渐近线方程为y=33x． （1）求双曲线C的方程 （2）过点（0，2）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|． B组：已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e=233，一条渐近线方程为y=33x． （1）求双曲线C的方程 （2）过点（0，2）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且OA•OB=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

Answer 1

解：A（1）∵双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e=233，
一条渐近线方程为y=33x，
∴ca=233ba=33c2=a2+b2，解得a2=9，b2=3，
∴双曲线C的方程为x29+y23=1．
（2）过点（0，2）倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+2，
联立y=x+2x29+y23=1，得4x2+62x-3=0，
△=（62）2+4×4×3=120，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-322，x1x2=-34，k=tan45°=1，
∴|AB|=2[(-322)2-4×(-34)]=15．
BA（1）∵双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e=233，
一条渐近线方程为y=33x，
∴ca=233ba=33c2=a2+b2，解得a2=9，b2=3，
∴双曲线C的方程为x29+y23=1．
（2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+2，
联立y=kx+2x29+y23=1，得（3k2+1）x2+62kx-3=0，
∵直线l与双曲线c有两个不同交点A和B，
∴△=（62k）2+4×（3k2+1）×3＞0，k∈R．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-62k3k2+1，x1x2=-33k2+1，
y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+2
=-3k23k2+1-12k23k2+1+2
=2-9k23k2+1．
∵OA•OB=2，
∴x1x2+y1y2=-33k2+1+2-9k23k2+1=-1-9k23k2+1=2，
整理，得k2=-15．不成立．
故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且OA•OB=2．