Question

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，点...

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|=3|PF2|． （1）求ba的最大值，并写出此时双曲线的渐进线方程； （2）当点P的坐标为（4105，3105）时，PF1•PF2=0，求双曲线方程．

Answer 1

解：（1）根据双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，
设F1（-c，0），F2（c，0），P（x0，y0），
双曲线x2a2-y2b2=1的左准线方程为：x=-a2c，
由圆锥曲线统一定义，得|PF1|x0+a2c=e，∴3a=ex0+a，得x0=2a2c，
∵P在双曲线的右支，∴x0≥a即2a2c≥a，解得c≤2a，即c2≤4a2，
即a2+b2≤4a2，即b≤3a，ba≤3．
∴ba的最大值为3，此时双曲线的渐近线方程为y=±3x；
（2）PF1=（-c-x0，-y0），PF2=（c-x0，-y0），
∵PF1•PF2=0，
∴-（c2-x02）+y02=0，可得c2=x02+y02=10…（*）
∵|PF2|=(c-x0)2+y02=a，
∴（c-x0）2+y02=a2，
代入（*）式和x0=2a2c，可得a2=20-2cx0=20-4a2，解之得a2=4，
∴b2=c2-a2=6，得双曲线方程为x24-y26=1，
此时x0=2a2c=4105，y0=±3105，
所以当点P的坐标为（4105，3105）时，PF1•PF2=0，此时的双曲线方程为x24-y26=1．