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根据中值定理，任意[x1,x2],存在ξ∈(x1,x2),使得f'(ξ)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1),
根据题意，我们只要找到f'(x)>2的区间即可。
函数定义域x>0
f'(x)=a/x+x≥2√[(a/x)x]=2√a≥2，a≥1.
上式中的等于是有条件的，a/x=x,x=√a，仅这一点，ξ=√a，f'(√a)=2√a
如果同时a=1，才有f'(1)=2,此时，任意作一个直线，斜率k=2，假如与曲线f交于x=1点两侧，对于此两个交点，[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)=f'(1)=2.
f''(x)=-a/x²+1，a=1时，f''(x)=1-1/x²，x≥1，f''(x)>0,曲线向上凹；0<x<1，f''(x)<0,曲线向下凹，x=1是反弯点。
f(x)=lnx+x²/2，f(1)=1/2,
曲线在点（1,1/2）的切线为y=2(x-1)+1/2,
在x=1左侧，曲线在该切线的下方；在x=1右侧，曲线在该切线的上方。与该切线平行的直线，无论位于该切线的下方（与曲线x=1左侧相交），还是在该切线上方（与曲线x=1右侧相交），都只有一个交点，不可能越过与它平行的直线，与曲线的另一侧相交。
所以，上述情况不会发生。
因此，可以包含1.
根据题意，我们只要找到f'(x)>2的区间即可。
函数定义域x>0
f'(x)=a/x+x≥2√[(a/x)x]=2√a≥2，a≥1.
上式中的等于是有条件的，a/x=x,x=√a，仅这一点，ξ=√a，f'(√a)=2√a
如果同时a=1，才有f'(1)=2,此时，任意作一个直线，斜率k=2，假如与曲线f交于x=1点两侧，对于此两个交点，[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)=f'(1)=2.
f''(x)=-a/x²+1，a=1时，f''(x)=1-1/x²，x≥1，f''(x)>0,曲线向上凹；0<x<1，f''(x)<0,曲线向下凹，x=1是反弯点。
f(x)=lnx+x²/2，f(1)=1/2,
曲线在点（1,1/2）的切线为y=2(x-1)+1/2,
在x=1左侧，曲线在该切线的下方；在x=1右侧，曲线在该切线的上方。与该切线平行的直线，无论位于该切线的下方（与曲线x=1左侧相交），还是在该切线上方（与曲线x=1右侧相交），都只有一个交点，不可能越过与它平行的直线，与曲线的另一侧相交。
所以，上述情况不会发生。
因此，可以包含1.
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