Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2ax^2+bx(a≠0)

已知函数f(x)=lnx，g(x)=(1/2)ax^2+bx，a≠0. 1.若a=-2，函数h(x)=f(x)-g(x) 在其定义域上是增函数，求b取值范围 在1.的结论下，设函数Φ(x) =x^2+bx，x∈[1,2]，求函数Φ(x)最小值

Answer 1

1.若a=-2，则h(x)=lnx+x²-bx
因为
h(x)在定义域内是增函数
所以
h'(x)=1/x+2x-b>=0
在(0，+∞)
恒成立
所以
b<=1/x+2x
恒成立
所以b
小于
1/x+2x
的最小值
因为
1/x+2x>=2√2(均值不等式)
所以
b<=2√2
2.Φ(x)=x²+bx
所以
Φ'(x)=2x+b
Φ'(x)=0时
x=-b/2
因为
x∈[1,2]
所以
当-2<b<=2√2
时
Φ'(x)>0
恒成立
Φ(x)在定义域内单增
最小值为Φ(1)=2+b
当-4<b<=-2时
Φ(x)在定义域内
最小值为
Φ(-b/2)=3b²/4
当
b<=-4时
Φ(x)在定义域内最小值为
Φ(2)=4+2b