Question

已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点（-3/4,0)成中心对称图形，且满足f(x)= -f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=2,

则f(1)+f(2)+……f（2006）的值？

Answer 1

∵函数f(x)的图像关于点（-3/4,0)成中心对称图形
∴f(x-3/4)=-f(-x-3/4)
∴f(x)=-f[-(x+3/2)]
又∵f(x)= -f(x+3/2),
∴f(x+3/2)=f[-(x+3/2)]
∴f(x)=f(-x)

f(-1)=-f(-1+3/2)=1
f(1/2)=-1

f(1)=f(-1)=1

f(2)=-f(1/2+3/2)=-f(1/2)=1
f(3)=-f[0+(3/2)*2]=-f(0)=-2
f(4)=-f[1+(3/2)*2]=-f(1)=-1

f(5)=-f[1/2+(3/2)*3]=-f(1/2)=1
f(6)=-f[0+(3/2)*4]=-f(0)=-2
f(7)=-f[1+(3/2)*4]=-f(1)=-1
...

f(1)+f(2)+……f（2006）
=1+(1-2-1)+(1-2-1)+...+1
=2-2*668
=-1334

Answer 2

首先我是按f(0)=2做的，如果题目没错。

由周期函数定义：

f(x)= -f(x+3/2)
-f(x+3/2)=f(x+3)
所以f(x)=f(x+3)
故f(x)周期函数,f(2)=1,f(3)=2

由对称性定义-
f(-3/4-x)=-f(-3/4+x)
f(x)=-f(-x-3/2)
f(x)=-f(x+3/2)
f(-(x+3)/2)=f(x+3/2)
令x+3/2=t,f(-t)=f(t)
故f(x)偶函数。
故f(1)=f(-1)=1
2006/3=668……2

f(1)+f(2)+……f（2006）
=668*4+2
＝2674