Question

数列[(-1)^n+1][(n+1)/n]的极限

具体解答过程，分n=2N和n=2N+1来求解???

Answer 1

lim[(n-1)/(n+1)]^n

=lim[(n+1-2)/(n+1)]^n

=lim[1+(-2)/(n+1)]^n

=lim[1+(-2)/(n+1)]^(n+1-1)

=lim[1+(-2)/(n+1)]^(n+1)*1

={lim[1+(-2)/(n+1)]^[(n+1)/(-2)]}^(-2)

根据重要的极限：lim(1+1/n)^n=e=e^(-2)

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

n=2N时，[(-1)^n
+
1][(n+1)/n]
=
[(-1)^(2N)
+
1]/[(2N+1)/(2N)]
=
(2N+1)/N
=
2
+
1/N,
n=2N->无穷大时，N->无穷大，[(-1)^n
+
1][(n+1)/n]
=
2
+
1/N
->
2
n=2N+1时，[(-1)^n
+
1][(n+1)/n]
=
[(-1)^(2N+1)
+
1][(2N+2)/(2N+1)]
=
0.
n=2N+1->无穷大时，[(-1)^n+1][(n+1)/n]
->
0
不等于
2.
因此，n->无穷大时，[(-1)^n+1][(n+1)/n]的极限不存在。